تعریف و محاسبه تبدیل فوریه

از ویکی جامع پردیس دانشگاهی دانشگاه قم
پرش به: ناوبری، جستجو

تعریف و محاسبه تبدیل فوریه

برای آشنایی با تبدیل فوریه، ابتدا سری فوریه را معرفی می کنیم که به توابع متناوب مربوط است.

در اوايل قرن نوزدهم فردی به نام جوزف فوريه ادعا نمود که هر تابع متناوبی را می توان به صورت يک مجموع از توابع سينوسی و کسينوسی بيان کرد. اين مجموع را اصطلاحا سری فوريه[۱] می نامند. به عبارت دقیق‏تر، سری فوریه بيان می کند که هر تابع متناوب[۲] پيوسته با دوره تناوب را می توان به صورت زير نوشت:

(1-1)

که در این رابطه می باشد و فرکانس اصلی[۳] يا همساز (هارمونیک) اصلی[۴] خوانده می شود و ، ...همسازهای دوم، سوم ....خوانده می شوند. اگر را زمان با واحد ثانيه بگيريم واحد برابر است که هرتز خوانده می شود. همچنين ضرايب ، ضرايب سری فوريه ناميده می شوند و نشان دهنده ميزان تأثير فرکانس (همساز) متناظر می باشد.

می دانیم و و در نتیجه می توان نشان داد که رابطه بالا به عبارت زير تبديل می شود:

(2-1)

ضرایب يا همان ضرايب سری فوريه از رابطه زير به دست می آيند:

(3-1)

اين در صورتی است که تابع متناوب باشد. در حالتی که تابع نامتناوب باشد می توان فرض کرد که تابعی متناوب با تناوب داريم. در اين حالت می توان نشان داد که ضرايب گسسته تبديل به تابعی پيوسته بر حسب فرکانس يعنی خواهد شد و سيگما در (1-3) به انتگرال تبديل می شود و رابطه زير را خواهيم داشت:

(4-1)

در اينجا ديگر عددی برابر نيست. بلکه متغيری پيوسته است که از تا تغییر می کند.تابع در واقع متناظر با همان ضرايب گسسته است که اکنون به تابعی پيوسته تبديل شده اند. اين تابع با استفاده از رابطه زير به دست می آيد:

(5-1)

رابطه بالا اصطلاحا تبديل فوريه سيگنال پيوسته خوانده می شود. در واقع برای تابع متناوب ضرايب فوريه و برای تابع نامتناوب تبديل فوريه داريم.

اين، تعريف تبديل فوريه برای يک تابع پيوسته بود. برای تابع گسسته نيز به طور مشابه تعريفی برای تبديل فوريه داريم. در زير تعريف تبدیل فوريه را به طور کامل ذکر کرده ايم.

پاورقی

  1. Fourier series
  2. Periodic
  3. Fundamental frequency
  4. Fundamental harmonic