درس:پردازش گفتار/فصل دوم/بخش ششم

از ویکی جامع پردیس دانشگاهی دانشگاه قم
پرش به: ناوبری، جستجو

سیستم

سیستم را می توان به صورت ابزاری سخت افزاری یا نرم افزاری در نظر گرفت که پردازشی روی سیگنال انجام می دهد. مثلا برنامه ای که سيگنالی را بگيرد و نويز آن را حذف کند در واقع يک سيستم می باشد. هر سيستم دارای سیگنال هایی به عنوان ورودی و سیگنال هایی به عنوان خروجی می باشد.

مشابه سيگنال، سيستم هم می تواند دارای سه نوع آنالوگ، گسسته یا رقمی باشد. مثلا سيستمی که ورودی و خروجی آن پيوسته باشد سيستم آنالوگ خوانده می شود. بحث ما بيشتر شامل سيستم های رقمی و گسسته است. تمام مطالبی که در اين بخش تحت عنوان سيگنال گسسته گفته می شود برای رقمی هم صادق است.

سيستم پيوسته را در حالت کلی می توان با نماد نشان داد که نشان دهنده سيستم يا تبديل است. ، ورودی سیستم و خروجی آن بعد از اعمال تبدیل می باشد. به ،پاسخ سيستم به ورودی نيز گفته می شود. به طور مشابه سيستم گسسته با نماد نشان داده می شود.

مثال 1-29. و دو سيستم پيوسته می باشند که به ترتيب مشتق گير و انتگرال‏ گير خوانده می شوند.

مثال 1-30. پاسخ سيستم زير را به ورودی به دست آوريد.














نکته: هر چند در محاسبه ، را هم در نظر گرفتیم، ولی در نهايت چون قرارداد کرديم انديس سيگنال ها از 0 شروع شود نهايی را هم از در نظر می گيريم؛ يعنی .

سيستم های خطی تغييرناپذير با زمان (LTI [۱]‏)

سیستمی که دارای دو خاصیت خطی بودن و مستقل از زمان بودن باشد را یک سیستم LTI گویند. سیستم های LTI، دسته مهمي از سيستم ها را تشکيل می دهند. در ادامه اين دو خاصيت را توضيح می دهيم.

سيستم تغييرناپذير با زمان (TI‏ [۲])

که به آن، تغييرناپذير نسبت به شيفت (SI‏ [۳]) هم گفته می شود. فرض کنيد پاسخ يک سيستم T به ورودی برابر باشد. در اينجا T يک سيستم (SI) TI خوانده مي‏شود اگر پاسخ سيستم به به ازای هر برابر با باشد. اين تعريف را می توان به فرم خلاصه شده زير نوشت:



از لحاظ مفهومی، سیستمی TI است که در هر زمان که ورودی مشخص را به آن اعمال کنیم، یک خروجی مشخص را نتیجه بگیریم. ممکن است در ابتدا گفته شود چنين نکته ای برای هر سيستمی برقرار است. اما اين گونه نيست. مثال های زير اين موضوع را واضح تر می سازد.

مثال 1-31. شخصی را در نظر بگیرید که هنگام صبح، سلام شما را به گرمی پاسخ می دهد اما هنگام عصر و در اثر خستگی ناشی از کار روزانه، سلام شما را خیلی سرد جواب می گوید. سیستم این شخص TI نیست.

مثال 1-32. نشان دهيد سيستم زير TI نيستند.



فرض کنید اگر ورودی، باشد خروجی (پاسخ سيستم) برابر است. فرض کنيد ورودی را داريم. خروجی سيستم واضحا برابر می شود. اکنون فرض کنيد ورودی سيستم باشد. خروجی خواهد بود که برابر با است. در نتيجه اين سيستم TI نيست. چون اگر TI بود اين خروجی بايد می بود.

مثال 1-33. نشان دهید سیستم یک سیستم TI می باشد.





سيستم خطی[۴]

فرض کنيد سيستم S مفروض باشد و و .در اين صورت S خطی ناميده می شود اگر و فقط اگر شرط زیر برقرار باشد.



در این گونه سیستم ها، اگر ورودی، مثلا سه برابر شود، خروجی هم سه برابر می‏ شود.

مثال 1-34. نشان دهيد سيستم غير خطی است؟




مثال 1-35. نشان دهيد سيستم خطی است.





مثال 1-36. آيا سيستم خطی است؟





روش های نمایش سیستم های LTI

در اين قسمت دو روش نمايش سيستم های LTI در حالت کلی بيان شده و چند مثال کاربردی در اين زمينه مطرح خواهد شد.

نمايش به صورت پاسخ ضربه

مقدمه: تابع گسسته دلتای کرونکر[۵] به صورت نشان داده شده و به صورت زير تعريف می شود:


(16-1)


شکل اين تابع در زير رسم شده است:


شکل 1-10. تابع ضربه واحد


به اين تابع، ضربه واحد[۶] يا به اختصار تابع ضربه نيز گفته می شود. از اين بعد به اين تابع را "تابع دلتا" يا "تابع ضربه" می ناميم.

با کمی دقت در تعريف دلتا به سادگی می توان درستی قضيه زير را نشان داد.

قضيه: هر سيگنال گسسته را با کمک تابع دلتا به صورت بسط زير می توان نوشت:



مثال 1-37. مطلوبست نمايش سيگنال به صورت بسط تابع ضربه بنويسيد.



اکنون فرض کنيد يک سيستم LTI داشته باشيم. در اين صورت:



به علت فرض خطی بودن خواهيم داشت:



فرض کنيد پاسخ سيستم به ورودی برابر با باشد. در اين صورت فرض TI بودن مستلزم اين است که پاسخ سيستم به ورودی برابر با باشد. در نتيجه:


(17-1)


سيگمای اخير اصطلاحا کانولوشن دو سيگنال و خوانده شده و با نماد نشان داده می شود. پس خواهيم داشت:


(18-1)


در اين کتاب در مورد کانولوشن و ويژگی های جالب آن اشاره نمی کنيم. تنها به ذکر نکته زير اکتفا می شود.

نکته: اپراتور دارای خاصيت جابجايی است. به عبارت دقيق تر:


(19-1)


مثال 1-38. سيستم زير مفروض است. مطلوبست الف) پاسخ ضربه اين سيستم ب) به دست آوردن خروجی سيستم به ازای ورودی با کمک رابطه (1-18).



الف) پاسخ ضربه يعنی محاسبه خروجی به ازای ورودی




ب)









نکته: اگر محاسبه را بدون استفاده از (1-18) و صرفا با و داده شده انجام دهيم به همان نتيجه قسمت ب می رسيم که امری کاملا طبيعی است.

نکته: تأکيد می کنيم که موضوع بحث سيستم های LTI است و مفاهيم پاسخ ضربه و رابطه (1-18) تنها برای سيستم های LTI معنی دارد.

نکته مهم: با توجه به مباحث بيان شده نتيجه می گيريم در يک سيستم LTI اگر پاسخ ضربه مشخص باشد آنگاه می توان خروجی سيستم را به ازای هر ورودی دلخواه محاسبه نمود. در نتيجه می توان گفت اگر پاسخ ضربه مشخص باشد سيستم کاملا معين است. به عبارت ديگر يکی از روش های نمايش يک سيستم LTI استفاده از پاسخ ضربه می باشد.


نمايش به صورت معادله تفاضلی خطی با ضرايب ثابت (LCCDE‏ [۷])

می توان ثابت کرد که يک سيستم خطی را در حالت کلی می توان به صورت زير نوشت. اين موضوع را بدون اثبات پذيرفته و به ارائه دو مثال در اين زمينه اکتفا می کنيم.


(20-1)


مثال 1-39. نشان دهيد سيستم مربوط به مثال 1-38 به فرم LCCDE می باشد.



مثال 1-40. پاسخ ضربه سيستمی به صورت است. مطلوبست نمايش اين سيستم به صورت LCCDE



فرم بالا خود به شکل LCCDE است. اما می توان فرم های LCCDE ديگری را هم برای سيستم پيشنهاد کرد.

به عنوان مثال می توانيم داشته باشيم:




نکته: با توجه به رابطه نتيجه می گيريم که هر سيستم LTI را می توان به فرم نوشت که هر یک می باشد.

نمايش سيستم ها در حوزه فرکانس و Z

دو روشی که در قسمت قبل با آنها آشنا شديم نمايش سيستم ها در حوزه زمان بود. در اين قسمت با ارائه يک قضيه بسيار مهم نمايش سيستم ها در حوزه فرکانس و z را بررسی می کنيم.

قضيه: رابطه کانولوشن در حوزه زمان، در حوزه های فرکانس و z به روابط ضربی زير تبديل می شوند:



تبديل کانولوشن به ضرب روابط رياضی و تحليل های ما را بسيار ساده تر می کند و به همين علت، معمولا تجزيه و تحليل سيستم ها معمولا در حوزه های فرکانس يا z انجام می شود.

در ادامه با ذکر چند مثال تلاش می کنيم قضيه و نحوه به کارگيری آن را واضح تر سازيم.

نکته: با توجه به رابطه بالا واضح است که ,

مثال 1-41. در مثال 1-38 مطلوبست الف) محاسبه ب) محاسبه ت) محاسبه ث) به دست آوردن با محاسبه معکوس تبديل z


الف)


ب)


ت)


ث)با توجه قسمت ت و رابطه خواهیم داشت:



مثال 1-42. از روش های فشرده سازی داده (بخصوص صدا)، کدگزاری پيشگوی خطی(LPC [۸]) مي‏باشد. در اين روش به جاي کدکردن خود داده ،تفاضل کد می شود که یک تقریب از سیگنال است. اين نوع کدگزاری دو مزيت عمده دارد: استفاده از تعداد بيت های کمتر (به علت اينکه مقادير تفاضلی کوچکتر از مقادير عادی سيگنال هستند) و حذف بعضی نويزها.

مسأله عمده اين است که طوری به دست آورده شود که تا آنجا که ممکن است به نزدیک باشد.در LPC، در هر نقطه به صورت ترکيب خطی از چند نقطه ماقبل در نظر گرفته می شود. اين امر در خصوص سيگنال‏ هايی مثل صدا يا تصوير معقول می باشد. به عبارت دقيق تر در نظر گرفته می شود. در اين تقريب دو چيز بايد به دست آورده شود: مقدار و ضرایب . روش محاسبه اين دو پارامتر در LPC در جای خود (در بحث فشرده سازی صدا) توضيح داده می شود. بعد از محاسبه ،اکنون محاسبه و کد می شود. در اين قسمت می توان فرض کرد سيستمی وجود دارد که را گرفته (ورودی) و را نتيجه می دهد (خروجی).

به عنوان مثال به ازای خواهیم داشت:



پاورقی

  1. Linear time invariant (LTI)
  2. Time invariant (TI)
  3. Shift invariant (SI)
  4. Linear
  5. Kronecker delta
  6. Unit impulse
  7. Linear constant coefficient difference equation (LCCDE)
  8. Linear predictive coding