درس:پردازش گفتار/فصل دوم/بخش چهارم

از ویکی جامع پردیس دانشگاهی دانشگاه قم
پرش به: ناوبری، جستجو

تبديل Z

در اين قسمت ابتدا تئوری مربوط به تبديل Z و نحوه محاسبه آن بيان می شود. سپس در مورد رابطه آن با تبديل فوريه مطالبی بيان می شود. در انتها نیز به کاربردهای اين تبديل اشاره می شود.

تعريف: تبديل Z سيگنال گسسته به صورت نشان داده شده و به صورت زير تعريف می گردد:


(14-1)


در اين رابطه يک متغير است. بنابراين حاصل اين تبديل يک تابع پیوسته خواهد بود. اين، برخلاف DFT است که حاصل آن يک سری مقادير مشخص می باشد. متغير در حالت کلی می تواند حتی مقداری مختلط باشد.

مثال 1-23. مطلوبست محاسبه تبديل Z سيگنال



مثال 1-24. مطلوبست محاسبه تبديل Z سيگنال , .


البته شرط برقراری اين رابطه آن است که

در حالت کلی اگر , می توان نشان داد مشروط بر آنکه

با توجه به اينکه مقادير مختلط در نظر گرفته می شود رابطه به اين معناست که مقادير در خارج دايره به شعاع قرار داشته باشند تا رابطه نوشته شده برای برقرار باشد. به اين ناحيه اصطلاحا ناحيه همگرايی (ROC‏[۱]) می گويند.


معکوس تبديل z

مشابه بحث DFT، در تبديل z هم می توان با داشتن به سيگنال اصلی .. دست يافت. می توان نشان داد که اين کار از طريق رابطه زير انجام می شود:

(15-1)


که نشان دهنده انتگرال مختلط است و منحنی است که دور ناحيه ROC را می پوشاند.

واضح است که محاسبه اين رابطه،دشوار است. به همين علت معمولا از روش‏های ديگری برای اين محاسبه استفاده می کنند. مثال زير نمونه ای از آن را نشان می دهد.

مثال 1-25. مطلوبست محاسبه معکوس تبديل Z برای رابطه



با توجه به مثال 1-24 (و فرض برقرار بودن همگرايی ها) می توانيم را به صورت زیر محاسبه کنیم:



اين روش اصطلاحا بسط به کسرهای جزئی خوانده می شود. در کاربردهای واقعی معمولا تبديل Z به صورت کسرهای چندجمله ای می باشد و با روش بسط به کسرهای جزئی می توان را محاسبه کرد.

محاسبه تبديل z در MATLAB

در محاسبه تبديل z و معکوس آن، با متغير z سروکار داريم. MATLAB برای کار با متغيرها جعبه ابزار رياضيات سمبليک[۲] را ارائه کرده است. در اين قسمت با ارائه دو مثال، نحوه محاسبه تبديل Z و معکوس تبديل Z را با کمک اين ابزار فرا می گيريم.

مثال 1-26. مطلوبست محاسبه در مثال 1-25 با استفاده از دستورات MATLAB

برنامه ساده زير اين کار را انجام می دهد.


syms z
 X=z/(3*z^2-4*z+1)
 iztrans(X)
1/2 - (1/3)^n/2


  • دستور اول يک متغير به نام z تعريف می کند.
  • با دستور دوم را می سازيم.
  • دستور سوم معکوس تبديل Z را محاسبه می کند. همان گونه که ملاحظه می شود نتيجه محاسبه با آنچه به صورت رياضی محاسبه کرده ايم تطابق دارد.

مثال 1-27. مطلوبست محاسبه تبديل z در مثال 1-24 با نوشتن يک برنامه MATLAB


syms n
x=(1/3)^n
ztrans(x)
z/(z - 1/3)


پاورقی

  1. Region of convergence (ROC)
  2. Symbolic too