روش های نمایش سیستم های LTI

از ویکی جامع پردیس دانشگاهی دانشگاه قم
پرش به: ناوبری، جستجو

روش های نمایش سیستم های LTI

در اين قسمت دو روش نمايش سيستم های LTI در حالت کلی بيان شده و چند مثال کاربردی در اين زمينه مطرح خواهد شد.

نمايش به صورت پاسخ ضربه

مقدمه: تابع گسسته دلتای کرونکر[۱] به صورت نشان داده شده و به صورت زير تعريف می شود:


(16-1)


شکل اين تابع در زير رسم شده است:


شکل 1-10. تابع ضربه واحد


به اين تابع، ضربه واحد[۲] يا به اختصار تابع ضربه نيز گفته می شود. از اين بعد به اين تابع را "تابع دلتا" يا "تابع ضربه" می ناميم.

با کمی دقت در تعريف دلتا به سادگی می توان درستی قضيه زير را نشان داد.

قضيه: هر سيگنال گسسته را با کمک تابع دلتا به صورت بسط زير می توان نوشت:



مثال 1-37. مطلوبست نمايش سيگنال به صورت بسط تابع ضربه بنويسيد.



اکنون فرض کنيد يک سيستم LTI داشته باشيم. در اين صورت:



به علت فرض خطی بودن خواهيم داشت:



فرض کنيد پاسخ سيستم به ورودی برابر با باشد. در اين صورت فرض TI بودن مستلزم اين است که پاسخ سيستم به ورودی برابر با باشد. در نتيجه:


(17-1)


سيگمای اخير اصطلاحا کانولوشن دو سيگنال و خوانده شده و با نماد نشان داده می شود. پس خواهيم داشت:


(18-1)


در اين کتاب در مورد کانولوشن و ويژگی های جالب آن اشاره نمی کنيم. تنها به ذکر نکته زير اکتفا می شود.

نکته: اپراتور دارای خاصيت جابجايی است. به عبارت دقيق تر:


(19-1)


مثال 1-38. سيستم زير مفروض است. مطلوبست الف) پاسخ ضربه اين سيستم ب) به دست آوردن خروجی سيستم به ازای ورودی با کمک رابطه (1-18).



الف) پاسخ ضربه يعنی محاسبه خروجی به ازای ورودی




ب)









نکته: اگر محاسبه را بدون استفاده از (1-18) و صرفا با و داده شده انجام دهيم به همان نتيجه قسمت ب می رسيم که امری کاملا طبيعی است.

نکته: تأکيد می کنيم که موضوع بحث سيستم های LTI است و مفاهيم پاسخ ضربه و رابطه (1-18) تنها برای سيستم های LTI معنی دارد.

نکته مهم: با توجه به مباحث بيان شده نتيجه می گيريم در يک سيستم LTI اگر پاسخ ضربه مشخص باشد آنگاه می توان خروجی سيستم را به ازای هر ورودی دلخواه محاسبه نمود. در نتيجه می توان گفت اگر پاسخ ضربه مشخص باشد سيستم کاملا معين است. به عبارت ديگر يکی از روش های نمايش يک سيستم LTI استفاده از پاسخ ضربه می باشد.


نمايش به صورت معادله تفاضلی خطی با ضرايب ثابت (LCCDE‏ [۳])

می توان ثابت کرد که يک سيستم خطی را در حالت کلی می توان به صورت زير نوشت. اين موضوع را بدون اثبات پذيرفته و به ارائه دو مثال در اين زمينه اکتفا می کنيم.


(20-1)


مثال 1-39. نشان دهيد سيستم مربوط به مثال 1-38 به فرم LCCDE می باشد.



مثال 1-40. پاسخ ضربه سيستمی به صورت است. مطلوبست نمايش اين سيستم به صورت LCCDE



فرم بالا خود به شکل LCCDE است. اما می توان فرم های LCCDE ديگری را هم برای سيستم پيشنهاد کرد.

به عنوان مثال می توانيم داشته باشيم:




نکته: با توجه به رابطه نتيجه می گيريم که هر سيستم LTI را می توان به فرم نوشت که هر یک می باشد.



پاورقی

  1. Kronecker delta
  2. Unit impulse
  3. Linear constant coefficient difference equation (LCCDE)