قضيه نايکوئيست

از ویکی جامع پردیس دانشگاهی دانشگاه قم
پرش به: ناوبری، جستجو

قضيه نايکوئيست [۱]

دو سیگنال سینوسی پیوسته و را در نظر بگیرید. این دو سیگنال را به سیگنال های گسسته و تبدیل نمایید. در این تبدیل فرکانس نمونه برداری را نمونه در ثانیه، در نظر بگیرید.

با مقایسه دو سیگنال گسسته به چه نتیجه ای می رسید.





با توجه به رابطه نتیجه می گیریم که .به بیان دیگر در اینجا سیگنال های پیوسته با هم معادل نیستند اما متناظرهای گسسته آنها با هم برابرند. شکل زیر این موضوع را به نحو واضح تری نشان می دهد.


شکل 1-9. منحنی دو سیگنال و و سیگنال گسسته متناظر (دایره های توپر سیاه) حاصل از نمونه برداری و



نتیجه مهمی که از این موضوع گرفته می شود این است که به ازای سیگنال گسسته مورد نظر بیش از یک متناظر پیوسته وجود دارد. در نتیجه در اینجا با داشتن سیگنال گسسته، نمی توان متناظر اولیه آن را به دست آورد. سؤال مهمی که مطرح می شود این است که آیا این موضوع عمومیت دارد. به بیان دیگر آیا به ازای هر سیگنال گسسته دلخواه، بیش از یک معادل پیوسته وجود دارد. این سؤالی است که در این قسمت قصد پاسخ به آن را داریم.

در ابتدای بحث، سؤالی کلی به صورت زیر مطرح می کنیم.

می دانيم که با نمونه برداری از سيگنال پيوسته به سیگنال گسسته می رسيم. سؤالی که ممکن است مطرح شود اين است که آيا می توان از روی ،سيگنال پیوسته را بازيابی کرد يا خير؟

قضيه ای به نام قضيه نايکوئيست يا قضيه نمونه برداری[۲] وجود دارد که می گويد مشروط به شرايطی اين کار شدنی است و جالب اينکه بيان می کند که می توان از روی گسسته را به طور کامل بازيابی کرد.

در اين قسمت ابتدا يک تعريف به عنوان مقدمه مطرح می شود و سپس قضيه نايکوئيست بيان می شود و در ادامه در مورد مفهوم و نتايج آن توضيحاتی می دهيم.

قضيه نايکوئيست: اگر بزرگترين مؤلفه فرکانسی موجود در برابر باشد و از سيگنال با نرخی بيشتر نمونه برداری شود آنگاه سيگنال پيوسته به طور کامل از روی سيگنال گسسته قابل بازيابی می باشد.

نکته: به نرخ يا فرکانس نايکوئيست گفته می شود.

اين قضيه را اثبات نمی کنيم و به علاوه نحوه بازيابی را هم توضیح نمی دهیم. برای مطالعه بیشتر در این زمینه، به مراجعی که در انتهای فصل، در بخش کتاب شناسی آورده شده اند، مراجعه شود.

در صورتی که نرخ نايکوئيست رعايت نشود سيگنال کيفيت مطلوب خود را نخواهد داشت و در اينجا اصطلاحا گفته می شود پديده تداخل[۳] اتفاق افتاده است.

مثال 1-28. برنامه MATLAB زير ابتدا يک فايل صوتی را می خواند و نرخ نمونه برداری را به دست می آورد. از آنجا که اين نرخ زياد است صدا دارای کيفيت مطلوب است و به احتمال قريب به يقين می توان گفت نرخ نايکوئيست رعايت شده است. در ادامه سيگنال گسسته ديگری ساخته شده است که در آن از هر 5 نمونه متوالی صدای اوليه يکی انتخاب شده است. ملاحظه می شود که صدا دارای کيفيت نامطلوبی شده است و به نظر می رسد که نرخ نايکوئيست رعايت نشده باشد.


[s Fs]=wavread('Do.wav');
wavplay(2*s)
s2=[];
for i=1:2:length(s)
s2=[s2  s(i)];
wavplay(s2,Fs)


اگر حجم اين دو فايل را با هم مقايسه کنيم خواهيم ديد که حجمDO_2.wac تقريبا نصف DO.wav است.



پاورقی

  1. Nyquist theorem
  2. Sampling theorem
  3. Aliasing